Dalam statistik, distribusi binomial dan distribusi Poisson adalah dua jenis distribusi probabilitas yang sering digunakan untuk menganalisis data. Keduanya memiliki kegunaan khusus dalam memodelkan berbagai fenomena acak, tetapi memiliki perbedaan mendasar dalam asumsi, sifat, dan penerapannya. Artikel ini akan menguraikan perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi Poisson, disertai dengan contoh konkret untuk memperjelas masing-masing konsep.
Pengertian Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen yang identik, dengan peluang keberhasilan yang tetap pada setiap percobaan. Distribusi ini cocok digunakan ketika ada dua kemungkinan hasil, seperti sukses atau gagal.
Contoh:
- Dalam melempar koin sebanyak 10 kali, distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan tepat 6 sisi kepala.
- Dalam produksi barang, digunakan untuk menghitung peluang menemukan 3 barang cacat dalam 20 barang yang diproduksi.
Pengertian Distribusi Poisson
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu, dengan asumsi bahwa kejadian-kejadian tersebut terjadi secara acak dan independen dengan rata-rata yang tetap.
Contoh:
- Menghitung jumlah panggilan telepon yang masuk ke pusat layanan pelanggan dalam 1 jam.
- Memodelkan jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan dalam 10 menit.
Perbedaan Utama Antara Distribusi Binomial dan Poisson
1. Fokus dan Penggunaan
Distribusi Binomial:
- Fokus pada jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan yang tetap.
- Digunakan untuk situasi di mana ada jumlah percobaan yang diketahui dan setiap percobaan memiliki probabilitas keberhasilan yang tetap.
Contoh:
Jika sebuah mesin memiliki peluang 5% untuk memproduksi barang cacat, distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas mendapatkan 2 barang cacat dalam 50 barang.
Distribusi Poisson:
- Fokus pada jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu.
- Digunakan untuk situasi di mana kejadian terjadi secara acak dengan rata-rata kejadian tetap.
Contoh:
Menghitung probabilitas bahwa 3 kendaraan akan melewati sebuah lampu lalu lintas dalam 5 menit.
2. Asumsi Dasar
Distribusi Binomial:
- Ada sejumlah percobaan tetap (n).
- Setiap percobaan adalah independen.
- Probabilitas keberhasilan (p) tetap pada setiap percobaan.
- Hanya ada dua hasil: sukses atau gagal.
Contoh:
Dalam 20 lemparan dadu, peluang mendapatkan angka genap pada lemparan tertentu adalah tetap, yaitu 50%.
Distribusi Poisson:
- Kejadian terjadi secara acak dalam interval waktu atau ruang tertentu.
- Kejadian bersifat independen.
- Rata-rata jumlah kejadian dalam interval tertentu (λ) adalah konstan.
- Tidak ada batas atas pada jumlah kejadian.
Contoh:
Jumlah pelanggan yang tiba di sebuah restoran dalam satu jam memiliki rata-rata tetap, misalnya 10 pelanggan per jam.
3. Parameter yang Digunakan
Distribusi Binomial:
- Parameter: n (jumlah percobaan) dan p (probabilitas keberhasilan).
- Rata-rata: μ = n × p.
- Varians: σ² = n × p × (1 – p).
Contoh:
Jika 10% dari 100 pelanggan biasanya membeli produk tertentu, rata-rata jumlah pembelian adalah μ = 100 × 0,1 = 10.
Distribusi Poisson:
- Parameter: λ (rata-rata jumlah kejadian per interval).
- Rata-rata dan varians sama: μ = λ dan σ² = λ.
Contoh:
Jika rata-rata ada 4 pelanggan per jam di sebuah toko, rata-rata dan varians jumlah pelanggan dalam satu jam adalah 4.
4. Batasan dan Kondisi
Distribusi Binomial:
- Digunakan hanya jika jumlah percobaan tetap dan diketahui sebelumnya.
- Tidak cocok untuk situasi di mana kejadian tidak dapat dihitung sebagai percobaan diskret.
Contoh:
Melempar koin 20 kali, di mana peluang mendapatkan kepala adalah 50%.
Distribusi Poisson:
- Digunakan untuk situasi dengan jumlah kejadian yang tidak diketahui sebelumnya dalam interval waktu atau ruang tertentu.
- Tidak memerlukan jumlah percobaan tetap.
Contoh:
Menghitung jumlah panggilan telepon yang masuk ke call center dalam waktu satu jam.
5. Hubungan Antara Keduanya
Distribusi Binomial:
Ketika jumlah percobaan (n) sangat besar dan probabilitas keberhasilan (p) sangat kecil, distribusi binomial dapat didekati menggunakan distribusi Poisson dengan parameter λ = n × p.
Contoh:
Dalam 1000 lemparan koin, peluang mendapatkan sisi tertentu sangat kecil pada setiap lemparan. Distribusi Poisson dapat digunakan untuk mendekati hasil distribusi binomial.
Distribusi Poisson:
Distribusi Poisson tidak dapat digunakan untuk situasi di mana jumlah percobaan tetap diketahui sebelumnya, karena ia tidak memiliki parameter n seperti pada distribusi binomial.
Contoh:
Jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan dalam satu jam tidak dapat dimodelkan dengan distribusi binomial.
6. Contoh Penghitungan
Distribusi Binomial:
Sebuah perusahaan memiliki mesin dengan tingkat kegagalan 5%. Jika 20 barang diproduksi, berapa probabilitas menemukan tepat 2 barang cacat?
Gunakan rumus binomial:
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k)
P(X = 2) = C(20, 2) × (0.05)^2 × (0.95)^18
Distribusi Poisson:
Rata-rata jumlah pelanggan yang datang ke restoran dalam 1 jam adalah 4. Berapa probabilitas bahwa dalam satu jam ada 3 pelanggan?
Gunakan rumus Poisson:
P(X = k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!
P(X = 3) = (4^3 × e^(-4)) / 3!
Kesimpulan
Distribusi binomial dan distribusi Poisson adalah dua model probabilitas yang penting dalam statistik, masing-masing dengan fokus dan kegunaan yang berbeda. Distribusi binomial cocok untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan tetap dengan peluang yang tetap, sedangkan distribusi Poisson digunakan untuk memodelkan jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu dengan rata-rata kejadian yang tetap. Memahami perbedaan dan penerapan kedua distribusi ini membantu para peneliti dan analis untuk memilih model yang tepat dalam memecahkan masalah statistik.
Berikut adalah tabel yang merinci perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi Poisson dalam statistik. Tabel ini mencakup berbagai aspek yang membedakan kedua distribusi tersebut, termasuk definisi, karakteristik, rumus, contoh penggunaan, dan aplikasi.
Aspek | Distribusi Binomial | Distribusi Poisson |
Definisi | Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan jumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen yang memiliki dua kemungkinan hasil (sukses atau gagal). | Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas yang menggambarkan jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu, di mana kejadian tersebut terjadi dengan rata-rata yang diketahui dan independen satu sama lain. |
Karakteristik | – Memiliki dua parameter: n (jumlah percobaan) dan p (probabilitas keberhasilan). – Hasilnya adalah jumlah keberhasilan dalam n percobaan. |
– Memiliki satu parameter: λ (lambdas), yang merupakan rata-rata jumlah kejadian dalam interval yang ditentukan. – Hasilnya adalah jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu. |
Rumus | Rumus probabilitas untuk distribusi binomial: <br> P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) <br> di mana C(n, k) adalah kombinasi dari n dan k. | Rumus probabilitas untuk distribusi Poisson: <br> P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k! <br> di mana e adalah bilangan Euler (sekitar 2.71828). |
Contoh Penggunaan | Menghitung probabilitas mendapatkan 3 kepala dalam 5 lemparan koin, di mana p = 0.5. | Menghitung probabilitas mendapatkan 4 panggilan telepon dalam satu jam, jika rata-rata panggilan adalah 3 per jam (λ = 3). |
Aplikasi | – Digunakan dalam situasi di mana ada percobaan yang dapat diulang dengan hasil biner. – Contoh: uji coba produk, survei, dan eksperimen klinis. |
– Digunakan dalam situasi di mana kejadian terjadi secara acak dalam interval waktu atau ruang. – Contoh: jumlah kecelakaan lalu lintas dalam sehari, jumlah pelanggan yang datang ke toko dalam satu jam. |
Sifat Distribusi | – Distribusi binomial dapat berbentuk simetris atau miring, tergantung pada nilai p dan n. – Jika n besar dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, distribusi binomial dapat mendekati distribusi normal. |
– Distribusi Poisson biasanya miring ke kanan, terutama ketika λ kecil. – Ketika λ besar, distribusi Poisson dapat mendekati distribusi normal. |
Independensi | Percobaan dalam distribusi binomial harus independen satu sama lain. | Kejadian dalam distribusi Poisson juga harus independen satu sama lain. |
Contoh dalam Kehidupan Sehari-hari | Menghitung probabilitas seorang siswa lulus ujian jika ada 10 ujian dengan probabilitas lulus 0.8. | Menghitung jumlah email yang diterima dalam satu jam jika rata-rata adalah 5 email per jam. |
Tabel di atas memberikan gambaran yang jelas dan terperinci mengenai perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi Poisson. Dengan memahami perbedaan ini, kita dapat lebih baik dalam memilih distribusi yang tepat untuk analisis data dan pengambilan keputusan dalam berbagai konteks statistik