Dekomposisi Cholesky adalah jenis khusus dari dekomposisi matriks matriks dari bahasa Inggris Bawah-Atas, yang terdiri dari faktorisasi matriks dalam produk dua atau lebih matriks.
Dengan kata lain, dekomposisi Cholesky terdiri dari pencocokan matriks yang berisi jumlah baris dan kolom yang sama (matriks persegi) dengan matriks dengan nol di atas diagonal utama dikalikan dengan matriks yang ditransposisikan dengan nol di bawah diagonal utama.
Dekomposisi LU, tidak seperti Cholesky, dapat diterapkan ke berbagai jenis matriks persegi.
Karakteristik dekomposisi Cholesky
Dekomposisi Cholesky terdiri dari:
- Matriks persegi segitiga atas: Matriks persegi yang hanya memiliki nol di bawah diagonal utama.
- Matriks persegi segitiga bawah: Matriks yang hanya memiliki angka nol di atas diagonal utama.
Secara matematis, jika ada matriks simetris definit positif, E , maka ada matriks simetris segitiga bawah, K, dengan dimensi yang sama dengan E , menghasilkan:
Matriks sebelumnya muncul sebagai matriks Cholesky dari E. Matriks ini bertindak sebagai akar kuadrat dari matriks E. Kita tahu bahwa domain dari akar kuadrat adalah:
{X : x 0}
Yang didefinisikan dalam semua bilangan real non-negatif. Dengan cara yang sama seperti akar kuadrat, matriks Cholesky hanya akan ada jika matriks didefinisikan semi-positif. Suatu matriks didefinisikan semi-positif ketika prinsip-prinsip minor memiliki determinan positif atau nol.
Dekomposisi Cholesky dari E adalah matriks diagonal sedemikian rupa sehingga:
Kita dapat melihat bahwa matriks-matriks tersebut berbentuk bujur sangkar dan mengandung sifat-sifat tersebut; segitiga nol di atas diagonal utama dalam matriks pertama dan segitiga nol di bawah diagonal utama dalam matriks yang diubah.
Kegunaan dekomposisi Cholesky
In digunakan untuk mengubah realisasi variabel normal bebas menjadi variabel normal berkorelasi menurut matriks korelasi E .
Jika N adalah rata-rata vektor independen (0,1), maka N adalah vektor Standar (0,1) Berkorelasi sebagai E .
Contoh dekomposisi Cholesky
Ini adalah contoh paling sederhana yang dapat kita temukan dari dekomposisi Cholesky karena matriks harus persegi, dalam hal ini matriksnya adalah (2 × 2). Dua baris dengan dua kolom. Selain itu, memenuhi karakteristik memiliki nol di atas dan di bawah diagonal utama. Matriks ini didefinisikan semi-positif karena prinsip-prinsip minor memiliki determinan positif. Kita mendefinisikan:
Pemecahan untuk: c 2 = 4; b · c = -2; a 2 + b 2 = 5; Kita memiliki empat kemungkinan matriks Cholesky:
Akhirnya kita menghitung untuk menemukan (a, b, c). Setelah kita menemukannya, kita akan memiliki matriks Cholesky. Perhitungannya adalah sebagai berikut: