Pengantar Persamaan Perbedaan dan Persamaan Diferensial
Fenomena alam dapat dijelaskan secara matematis dengan fungsi sejumlah variabel dan parameter independen.
Apalagi jika diekspresikan oleh fungsi posisi spasial dan waktu yang menghasilkan persamaan.
Fungsi dapat berubah dengan perubahan variabel independen atau parameter.
Perubahan sangat kecil yang terjadi pada fungsi ketika salah satu variabelnya diubah disebut turunan dari fungsi itu.
Persamaan diferensial merupakan persamaan apa pun yang mengandung turunan dari suatu fungsi serta fungsi itu sendiri.
Persamaan diferensial sederhana adalah persamaan Hukum Kedua Newton tentang Gerak.
Jika sebuah benda bermassa m bergerak dengan percepatan ‘a’ dan diberi gaya F, maka Hukum Kedua Newton menyatakan bahwa F=ma.
Di sini sekali lagi, ‘a’ bervariasi dengan waktu, kita dapat menulis ulang ‘a’ sebagai; a=dv/dt; v adalah kecepatan.
Kecepatan merupakan fungsi ruang dan waktu, yaitu v=ds/dt; oleh karena itu ‘a’= d 2 s/dt 2 .
Dengan mengingat hal ini, kita dapat menulis ulang hukum kedua Newton sebagai persamaan diferensial;
‘F’ sebagai fungsi dari v dan t – F(v,t)= mdv/dt, atau
‘F’ sebagai fungsi dari s dan t – F(s, ds/dt, t)=md 2 s/dt 2
Ada dua jenis persamaan diferensial; persamaan diferensial biasa disingkat ODE atau persamaan diferensial parsial disingkat PDE.
Persamaan diferensial biasa akan memiliki turunan biasa (turunan dari satu variabel saja) di dalamnya.
Persamaan diferensial parsial akan memiliki turunan diferensial (derivatif lebih dari satu variabel) di dalamnya.
misalnya F= md 2 s/dt 2 adalah ODE, sedangkan α 2 d 2 u/dx 2 = du/dt adalah PDE, turunan dari t dan x.
Persamaan selisih sama dengan persamaan diferensial tetapi kita melihatnya dalam konteks yang berbeda.
Dalam persamaan diferensial, variabel bebas seperti waktu dipertimbangkan dalam konteks sistem waktu kontinu.
Dalam sistem waktu diskrit, kita menyebut fungsi tersebut sebagai persamaan selisih.
Persamaan selisih merupakan fungsi dari selisih.
Perbedaan variabel bebas ada tiga jenis; urutan angka, sistem dinamik diskrit dan fungsi iterasi.
Dalam urutan angka, perubahan dihasilkan secara rekursif menggunakan aturan untuk menghubungkan setiap angka dalam urutan dengan angka sebelumnya dalam urutan.
Persamaan selisih dalam sistem dinamik diskrit mengambil beberapa sinyal masukan diskrit dan menghasilkan sinyal keluaran.
Persamaan perbedaan adalah peta iterasi untuk fungsi iterasi.
Misalnya, y 0 , f(y 0 ), f(f (y 0 )), f(f(f(y 0 ))),….adalah barisan dari fungsi iterasi.
f(y 0 ) adalah iterasi pertama dari y 0 .
Iterasi ke-k akan dilambangkan dengan f k (y 0 ).