Aritmatika adalah cabang matematika yang bertanggung jawab untuk mempelajari struktur bilangan dasar, serta sifat-sifat operasi dan bilangan.
- Anda pergi ke toko untuk membeli sesuatu, dan Anda melihat kebutuhan untuk menghitung melalui pengurangan, perubahan yang akan diberikan penjaga toko.
- Ketika Anda akan mendekati layanan publik dan seberapa cepat jumlah uang yang dibutuhkan untuk membayar nilai tiket.
- juga ketika Anda melakukan akun atau inventaris barang-barang Anda.
Pendidikan aritmatika formal biasanya dimulai di taman kanak-kanak dan selesai pada akhir kelas empat, dan biasanya diintegrasikan dengan mata pelajaran lain seperti sains, sejarah dan sastra dengan mengajar siswa untuk memberitahu waktu, belajar tanggal dan memecahkan masalah cerita dengan angka. Anak-anak TK biasanya belajar berhitung dari satu sampai dua puluh, maju dan mundur dan mengambil hitungan dari angka berapa pun.
Mereka juga belajar konsep perbandingan seperti lebih besar dari lebih kecil dari dan untuk menambah dan mengurangi angka hingga lima. Sebagian besar TK juga mempelajari penggunaan timbangan, alat ukur dan balok pola, kubus plastik, biji labu, biji ek dan bahan lainnya untuk menimbang, menghitung, membandingkan, menyortir, dan memahami bahwa angka tertulis dan lisan secara konseptual sama dengan jumlah ekuivalen. objek.
Perkembangan aritmatika kelas satu mencakup hal-hal berikut: menghitung maju dan mundur dari 1 sampai 100; lewati menghitung dengan dua, lima dan puluhan; identifikasi instan angka sebelum dan sesudah angka dari 1 hingga 100, konsep nilai tempat; penjumlahan dan pengurangan sederhana dari semua angka satu dan dua digit; pengakuan hubungan terbalik antara penambahan dan pengurangan; penggunaan tanda persamaan (=); konsep pecahan sebagai bagian dari keseluruhan; dan penggunaan angka dalam kehidupan sehari-hari untuk mengukur uang, waktu, kapasitas, berat dan suhu. Siswa kelas satu juga memperluas pembelajaran mereka di luar aritmatika ke cabang matematika lainnya dengan belajar mengenali angka geometris dua dimensi.
Di kelas dua , siswa belajar menguasai penomoran hingga 1.000 – menambah dan mengurangi tiga angka tunggal dan dua digit dan “membulatkan” ke sepuluh atau seratus terdekat. Kurikulum standar juga mencakup berhitung dengan angka ganjil dan genap dan hingga 1.000 dengan dua, tiga, lima dan puluhan. Keterampilan pengukuran meliputi penguasaan uang, waktu dan kalender.
Siswa kelas tiga maju ke penguasaan tabel perkalian melalui 12. Mereka juga belajar menjumlahkan dan mengurangkan bilangan empat dan lima digit, mengalikan atau membagi bilangan dua dan tiga digit dengan perkalian dan pembagi satu digit dan mengenali invers hubungan antara perkalian dan pembagian. Keterampilan berhitung juga mencakup penguasaan pecahan, desimal dan kemampuan untuk mengubah dari satu ke yang lain.
Kegunaan Aritmatika Dalam Matematika Dasar Yang Harus Diketahui Setiap Matematikawan
Apa Itu Bilangan Alami?
Bilangan asli, yang berfungsi untuk menyatakan jumlah unsur yang memiliki himpunan tertentu, dan disebut kardinal himpunan tersebut. Himpunan semuanya dilambangkan dengan N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Sifat-sifat penjumlahan Bilangan Asli
Penjumlahan bilangan asli memenuhi sifat-sifat unsur asosiatif, komutatif, dan netral.
1.- Asosiatif:
Jika a, b, c adalah sembarang bilangan asli, maka:
(a + b) + c = a + (b + c)
Sebagai contoh:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Hasilnya cocok, yaitu
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Komutatif
Jika a, b sembarang bilangan asli, maka:
a + b = b + a
Khusus untuk nomor 7 dan 4, diverifikasi bahwa:
7 + 4 = 4 + 7
Berkat sifat asosiatif dan komutatif dari penjumlahan, jumlah panjang bilangan asli dapat dibuat tanpa menggunakan tanda kurung dan tanpa memperhitungkan urutannya.
3.- Elemen netral
0 adalah unsur netral dari jumlah bilangan bulat karena, berapa pun bilangan asli a, dipenuhi bahwa:
a + 0 = a
Sifat-sifat Perkalian Bilangan Asli
Perkalian bilangan asli memenuhi sifat asosiatif, komutatif, netral dan distributif dari produk terhadap penambahan.
1.-Asosiatif
Jika a, b, c adalah sembarang bilangan asli, maka:
(a b) c = a (b c)
Sebagai contoh:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Hasilnya cocok, yaitu
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Komutatif
Jika a, b sembarang bilangan asli, maka:
a b = b
Sebagai contoh:
5 8 = 8 5 = 40
3.-Elemen netral
1 adalah unsur netral dari perkalian karena, berapa pun bilangan asli a, dipenuhi bahwa:
a 1 = a
4.- Distribusi produk sehubungan dengan jumlah
Jika a, b, c adalah sembarang bilangan asli, maka:
a (b + c) = a b + a c
Sebagai contoh:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 3 + 5 8 = 15 + 40 = 55
Hasilnya cocok, yaitu
5 (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Asli
Seperti penjumlahan, pengurangan adalah operasi yang diturunkan dari operasi pencacahan.
Jika kita memiliki 6 domba dan serigala memakan 2 domba, berapa banyak domba yang kita miliki? Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dengan menghitung semua domba, tetapi seseorang yang telah menceritakan kasus yang sama beberapa kali akan mengingat hasilnya dan tidak perlu menghitung domba lagi. Saya akan tahu bahwa 6 – 2 = 4.
Istilah pengurangan disebut minuendo (domba yang kita miliki) dan pengurangan (domba yang dimakan serigala).
Pengurangan tidak memiliki sifat komutatif (tidak sama dengan a – b dengan b – a)
Sifat-sifat Pembagian Bilangan Asli
Pembagian adalah operasi yang harus kita lakukan untuk mendistribusikan sejumlah hal di antara sejumlah orang.
Istilah pembagian disebut dividen (jumlah hal), pembagi (jumlah orang), quotient (jumlah yang sesuai dengan setiap orang) dan istirahat (apa yang tersisa).
Jika sisanya nol, pembagian disebut eksak dan sebaliknya tidak akurat.
Sifat-sifat divisi
Pembagian tidak memiliki sifat komutatif. Ini tidak sama dengan a / b dengan b / a.
Apa Bilangan Bulat?
Bilangan bulat, setiap unsur dari himpunan yang dibentuk oleh bilangan asli dan lawannya. Himpunan bilangan bulat ditunjuk oleh Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Angka negatif memungkinkan Anda menghitung jenis jumlah baru (seperti saldo debit) dan memesan di atas atau di bawah item referensi tertentu (suhu di atas atau di bawah 0 derajat, lantai bangunan di atas atau di bawah pintu masuknya…).
Ini disebut nilai absolut dari bilangan bulat a, bilangan asli yang ditunjuk | untuk | dan itu sama dengan milik sendiri jika positif atau nol, dan -a jika negatif. Artinya:
- jika a> 0, | untuk | = sebuah; misalnya | 5 | = 5; • jika a <0, | untuk | = -a; misalnya | -5 | = – (- 5) = 5.
Oleh karena itu, nilai mutlak suatu bilangan selalu positif.
Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan bulat adalah operasi internal karena hasilnya juga bilangan bulat. Namun, dua bilangan bulat hanya dapat dibagi jika dividennya adalah kelipatan dari pembagi.
Jumlah Bilangan Bulat
Untuk menjumlahkan dua bilangan bulat, lakukan sebagai berikut:
- Jika memiliki tanda yang sama, nilai absolutnya dijumlahkan, dan hasilnya diberi tanda bahwa adendum tersebut memiliki: • 7 + 11 = 18 • -7 – 11 = -18 • Jika memiliki tanda yang berbeda, adalah, jika satu penambahan positif dan yang lainnya negatif, nilai absolutnya dikurangi dan tanda yang lebih besar diberikan: • 7 + (-5) = 7 – 5 = 2 • -7 + 5 = – (7 – 5) = – 2 • 14 + (-14) = 0
Jumlah bilangan bulat memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) Komutatif: a + b = b + a Unsur netral: nol adalah unsur netral dari penjumlahan, a + 0 = a Unsur lawan: sembarang bilangan bulat a, memiliki lawan -a, a + (-a) = 0
Perkalian Bilangan Bulat
Untuk mengalikan dua bilangan bulat kalikan nilai absolutnya dan hasilnya dibiarkan dengan tanda positif jika kedua faktor bertanda sama atau diberi tanda minus jika faktornya berbeda tanda. Prosedur untuk mendapatkan tanda produk dari tanda faktor disebut aturan tanda dan disintesis sebagai berikut:
+ · + = + + · – = – – · + = – – · – = +
Perkalian bilangan bulat memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Asosiatif: (a b) c = a (b c) Komutatif: a b = b a Unsur netral: 1 adalah unsur netral perkalian, a 1 = a Distributif perkalian terhadap jumlah : a (b + c) = a b + a c
Pengurangan Bilangan Bulat
Untuk mengurangi dua bilangan bulat, minuend ditambahkan ke lawan dari pengurangan:
a – b = a + (-b)
Sebagai contoh:
5 – (-3) = 5 + 3 = 8 -2 – 5 = (-2) + (-5) = -7
Apa itu Bilangan Pecahan?
Bilangan Pecahan, adalah hasil bagi yang ditunjukkan a / b dari dua bilangan bulat yang disebut pembilang, a, dan penyebut, b. Harus b 0.
Misalnya, dalam pecahan 3/5 penyebutnya, 5, menunjukkan bahwa mereka adalah “bagian kelima”, yaitu, ia menyebut jenis bagian dari unit yang dimaksud; Pembilangnya, 3, menunjukkan berapa banyak dari bagian-bagian ini yang harus diambil: “tiga perlima”.
Jika pembilangnya adalah kelipatan dari penyebutnya, maka pecahan tersebut mewakili bilangan bulat:
14/2 = 7; -15 / 3 = -5; 352/11 = 32
Persamaan derajatnya
Dua pecahan a / b dan a ‘/ b’ adalah ekuivalen, dan dinyatakan
a / b = a ‘/ b’ jika a · b ‘= b · a’.
- A) Ya,
21/28 = 9/12 karena 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Penyederhanaan
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan habis dibagi dengan bilangan yang sama, d, selain 1 atau -1, membaginya dengan d menghasilkan pecahan lain yang setara dengannya. Dikatakan bahwa pecahan telah disederhanakan atau dikurangi: a / b = ad ‘/ b.d’ = a ‘/ b’
Misalnya: 120/90 = 12/9
Pecahan 12/9 adalah hasil dari penyederhanaan 120/90 dengan membagi sukunya dengan 10
Fraksinasi tak tereduksi
Pecahan dikatakan tidak dapat direduksi jika pembilang dan penyebutnya adalah bilangan prima.
Pecahan 3/5 tidak dapat direduksi. Pecahan 12/9 tidak dapat disederhanakan karena dapat disederhanakan: 12 / = 4/3
Pengurangan ke penyebut yang sama
Untuk mengurangi dua atau lebih pecahan ke penyebut yang sama adalah untuk mendapatkan pecahan lain yang masing-masing setara dengan mereka dan bahwa semua memiliki penyebut yang sama. Jika pecahan dari mana mereka dipecah tidak dapat disederhanakan, penyebutnya harus kelipatan umum dari penyebutnya. Jika kelipatan persekutuan terkecil (mcm) di antaranya, maka dikatakan telah direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil.
Misalnya, untuk mengurangi pecahan penyebut yang sama
2/3, 4/9 dan 3/5
Anda dapat mengambil 90 sebagai penyebut yang sama, dengan apa yang Anda dapatkan: 2/3 = 60/90, 4/9 = 40/90, 3/5 = 54/90
Artinya, itu adalah hasil pengurangan tiga pecahan sebelumnya menjadi penyebut yang sama: 90.
Tetapi jika bukan 90 yang diambil sebagai penyebut 45, yaitu KPK dari 3, 9 dan 5, maka diperoleh
30/45, 20/45, 27/445
yang merupakan hasil pengurangan ketiga pecahan tersebut ke penyebut persekutuan terkecilnya.
Jumlah Pecahan
Untuk menjumlahkan dua atau lebih pecahan dikurangi menjadi penyebut yang sama, pembilangnya ditambahkan dan penyebutnya dipertahankan. Contoh: 2/3 + 4/9 dan + 3/5 = 30/45 + 20/45 + 27/45 = 30 + 20 + 27/45 = 77/45
Produk Pecahan
Perkalian dua pecahan adalah pecahan lain yang pembilangnya adalah perkalian dari pembilangnya dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya: a / b * c / d = a * c / b * d
Kebalikan dari Pecahan
Invers pecahan a / b adalah pecahan lain, b / a, yang diperoleh dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya. Hasil kali pecahan dengan inversnya sama dengan 1:
a / b * b / a = a * b / b * a = 1/1 = 1
Hasil Bagi Pecahan
Hasil bagi dua pecahan adalah produk yang pertama dengan kebalikan dari yang kedua: a / b: p / q, a / b * q / p, a * q / b * p
Apa itu Bilangan Desimal?
Bilangan desimal, bilangan pecahan apa pun yang dinyatakan dalam sistem bilangan desimal. Jadi, angka 7,84; 0,005; -2.8464646…; 3.141592… dikatakan bahwa mereka adalah desimal.
Konsep nilai posisi, yang merupakan dasar untuk menyatakan bilangan bulat dengan notasi Arab pada basis bilangan apa pun, dapat diperluas untuk memasukkan bilangan pecahan. Jika basis penomoran adalah 10, jumlah bilangan bulat yang berbeda berarti nilainya dikalikan dengan pangkat positif 10:
3,586 = 3 10 ^ 3 + 5 10 ^ 2 + 8 10 ^ 1 + 6 100
Untuk memasukkan angka dengan bagian pecahan, Anda harus menyertakan angka dengan nilainya dikalikan dengan pangkat negatif 10. Angka-angka ini ditempatkan di sebelah kanan unit yang dipisahkan dengan koma:
127.546 = 1 * 10 ^ 2 + 2 * 10 ^ 1 + 7 * 10 ^ 0 + 5 * 10 ^ -1 + 4 * 10 ^ -2 + 6 * 10 ^ -3 =
1 * 100 + 2 * 10 + 7 + 5 * 1/10 + 4 * 1/100 + 6 * 1/1000
Satuan pecahan di sebelah kanan koma disebut persepuluh, perseratus, perseribu, perseribu,…, persejuta.
Jika bilangan desimal memiliki jumlah tempat desimal yang terbatas, biasanya disebut desimal eksak dan sesuai dengan pecahan tak tereduksi yang penyebutnya didekomposisi menjadi faktor prima hanya memiliki faktor 2 dan 5.
Misalnya: 5,42 = 542/100
Karena penyebutnya adalah pangkat 10, maka hanya memiliki faktor 2 dan 5, dan dengan mengurangi pecahan, hanya faktor-faktor ini yang tersisa.
Ada desimal dengan jumlah angka tak terbatas yang diulang secara berkala. Mereka disebut desimal periodik dan diperoleh dari pecahan tak tereduksi yang penyebutnya memiliki faktor selain 2 atau 5.
Contoh: 3.4222 ……. = 3,42 = 154/45
Akhirnya, ada angka desimal dengan angka tak terbatas yang tidak berulang secara berkala. Mereka tidak sesuai dengan pecahan apa pun dan, oleh karena itu, adalah bilangan irasional. Ini adalah kasus
pi = 3.141592…
akar kuadrat dari 2 = 1,41424…
Bilangan desimal dapat direpresentasikan pada garis nyata: jika mereka memiliki jumlah digit yang terbatas, mereka dapat ditempatkan secara teoritis akurat; Jika angka mereka tidak terbatas, mereka dapat ditempatkan sedekat yang diinginkan