Ekspektasi matematis dari variabel acak X adalah angka yang menyatakan nilai rata-rata dari fenomena yang diwakili oleh variabel ini.
Harapan matematis, juga disebut nilai yang diharapkan, sama dengan jumlah peluang suatu kejadian acak, dikalikan dengan nilai kejadian acak tersebut. Atau, dengan kata lain, nilai rata-rata dari kumpulan data. Mempertimbangkan, tentu saja, bahwa istilah harapan matematis diciptakan oleh teori probabilitas. Sedangkan dalam matematika, nilai rata-rata dari suatu peristiwa yang telah terjadi disebut mean matematis. Dalam distribusi diskrit dengan probabilitas yang sama pada setiap kejadian, rata-rata aritmatika sama dengan harapan matematis.
Contoh harapan matematis
Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahaminya. Bayangkan sebuah koin. Dua wajah, wajah dan salib. Apa harapan matematis (nilai yang diharapkan) untuk membuatnya mahal? Harapan matematis akan dihitung sebagai probabilitas bahwa, melempar koin berkali-kali, itu akan menjadi mahal.
Karena mata uang hanya bisa jatuh di salah satu dari dua posisi itu dan keduanya memiliki probabilitas yang sama untuk keluar, kita akan mengatakan bahwa harapan matematis bahwa itu keluar mahal adalah satu dalam dua, atau sama, 50% dari waktu. .
Kita akan melakukan tes dan kita akan melempar koin 10 kali. Misalkan mata uangnya sempurna:
- Gulungan 1: C
- Gulungan 2: X
- Gulungan 3: X
- Gulungan 4: C
- Gulungan 5: X
- Gulungan 6: C
- Gulungan 7: C
- Gulungan 8: C
- Gulungan 9: X
- Gulungan 10: X
Berapa kali mahal (kita hitung C)? 5 kali Berapa kali tanda silang keluar (kita hitung X)? 5 kali. Probabilitas menjadi mahal adalah 5/10 = 0,5 atau sebagai persentase 50%.
Setelah peristiwa itu terjadi, kita dapat menghitung rata-rata matematis dari berapa kali setiap peristiwa telah terjadi. Sisi mahal telah pergi sekali dalam dua kali, yaitu 50% dari waktu. Rata-rata cocok dengan harapan matematis.
Perhitungan harapan matematis
Harapan matematis dihitung dengan menggunakan probabilitas setiap kejadian. Rumus yang memformalkan perhitungan ini dinyatakan sebagai berikut:
Dimana x adalah nilai kejadian, P peluang terjadinya, dan periode terjadinya kejadian tersebut dan N jumlah total periode atau pengamatan.
Probabilitas suatu peristiwa yang tidak selalu terjadi adalah sama, seperti halnya mata uang. Ada banyak kasus di mana satu peristiwa lebih mungkin untuk pergi daripada yang lain. Itu sebabnya kita menggunakan rumus P. Selain itu, ketika menghitung bilangan matematika kita harus mengalikannya dengan nilai kejadiannya. Di bawah ini kita melihat sebuah contoh.
Untuk apa harapan matematis digunakan?
Harapan matematis digunakan di semua disiplin ilmu di mana kehadiran peristiwa probabilistik melekat di dalamnya. Disiplin seperti statistik teoretis, fisika kuantum, ekonometrika, biologi, atau pasar keuangan. Sejumlah besar proses dan peristiwa yang terjadi di dunia tidak akurat. Contoh yang jelas dan mudah dipahami adalah pasar saham.
Di pasar saham, semuanya dihitung berdasarkan nilai yang diharapkan. Mengapa nilai yang diharapkan? Karena itu yang kita harapkan terjadi, tapi kita tidak bisa memastikannya. Semuanya didasarkan pada probabilitas, bukan kepastian. Jika nilai yang diharapkan atau ekspektasi matematis dari profitabilitas suatu aset adalah 10% per tahun, itu berarti bahwa menurut informasi yang kita miliki dari masa lalu, pengembalian yang paling mungkin adalah 10%. Jika kita hanya mempertimbangkan, tentu saja, harapan matematis sebagai metode untuk membuat keputusan investasi kita.
Dalam teori tentang pasar keuangan, banyak yang menggunakan konsep harapan matematis ini. Di antara teori tersebut adalah yang dikembangkan oleh Markowitz tentang portofolio efisien . Dalam angka, menyederhanakan banyak, misalkan pengembalian aset keuangan adalah sebagai berikut:
Tahun 1 12%
Tahun 2 6%
Tahun 3 15%
Tahun 4 12%
Nilai yang diharapkan akan menjadi jumlah pengembalian dikalikan dengan probabilitas terjadinya. Probabilitas setiap profitabilitas “terjadi” adalah 0,25. Kita memiliki empat pengamatan, empat tahun. Setiap tahun mereka memiliki kemungkinan yang sama untuk mengulangi diri mereka sendiri.
Harapan = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Dengan mempertimbangkan informasi ini, kita akan mengatakan bahwa harapan pengembalian aset adalah 11,25%.