Polinomial Taylor adalah aproksimasi polinomial dari suatu fungsi yang terdiferensial n kali pada suatu titik tertentu.
Dengan kata lain, polinomial Taylor adalah jumlah hingga turunan lokal yang dievaluasi pada titik tertentu.
Secara matematis
Kita mendefinisikan:
f (x): fungsi dari x .
f (x 0 ): fungsi x pada titik tertentu x 0 . Secara formal tertulis:
f (n) (x): turunan ke- n dari fungsi f (x).
Kegunaan
Ekspansi Taylor umumnya diterapkan pada aset dan produk keuangan, yang harganya dinyatakan sebagai fungsi non-linier. Misalnya, harga sekuritas utang jangka pendek adalah fungsi nonlinier yang bergantung pada suku bunga. Contoh lain adalah opsi, di mana faktor risiko dan profitabilitas adalah fungsi nonlinier. Menghitung durasi ikatan adalah polinomial Taylor derajat pertama.
Contoh polinomial Taylor
Kita ingin mencari orde kedua dari aproksimasi Taylor dari fungsi f (x) pada titik x 0 = 1.
- Kita membuat turunan yang relevan dari fungsi f (x).
Dalam hal ini mereka meminta kita sampai orde kedua, maka, kita akan membuat turunan pertama dan kedua dari fungsi f (x):
- Turunan pertama:
- Turunan kedua:
- Kita mensubstitusi x 0 = 1 dalam f (x), f ‘(x) dan f’ ‘(x):
- Setelah kita mendapatkan nilai turunan di titik x 0 = 1, kita substitusikan ke dalam aproksimasi Taylor:
Kita memperbaiki polinomial sedikit:
Pemeriksaan nilai
Pendekatan Taylor akan memadai semakin mendekati x 0 nilainya. Untuk memverifikasi ini, kita mengganti nilai yang mendekati 0 pada fungsi asli dan pendekatan Taylor di atas:
Ketika x 0 = 1
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Ketika x 0 = 1,05
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Ketika x 0 = 1,10
Fungsi asli:
Perkiraan Taylor:
Dalam kasus pertama ketika x 0 = 1, kita melihat bahwa baik fungsi asli maupun aproksimasi Taylor memberikan hasil yang sama. Hal ini disebabkan komposisi polinomial Taylor yang telah kita buat menggunakan turunan lokal. Turunan ini telah dievaluasi pada titik tertentu, x 0 = 1, untuk mendapatkan nilai dan membuat polinomial. Jadi semakin jauh dari titik tertentu, x 0 = 1, semakin kurang tepat aproksimasi untuk fungsi nonlinier asli. Dalam kasus di mana x 0 = 1,05 dan x 0 = 1,10 terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil fungsi asli dan aproksimasi Taylor.
Tapi… Perbedaannya sangat kecil, kan?
Representasi polinomial Taylor
Jika kita memperpanjang ekstrem (di mana pendekatan bergerak menjauh dari x 0 = 1):
Sepintas mungkin tampak tidak signifikan tetapi ketika kita mengerjakan grafik dan membuat perkiraan, sangat penting untuk memperhitungkan setidaknya empat desimal pertama. Dasar dari aproksimasi adalah presisi.